- Bentuk Akar,
- Operasi Aljabar pada Bentuk Akar,
- Menyederhanakan Bentuk Akar dan,
- Merasionalkan Penyebut.
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.
Contoh 1.Dari bilangan-bilangan berikut tentukan mana yang merupakan bentuk akar dan mana yang bukan!
a) $\sqrt{12}$
b) $\sqrt{25}$
c) $\sqrt{0,49}$
d) $\sqrt{145}$
e) $\sqrt[3]{0,008}$
Penyelesaian:
| a) | $\sqrt{12}=3,4641....$ (bentuk akar) |
| b) | $\sqrt{25}=5$ (bukan bentuk akar) |
| c) | $\sqrt{0,49}=\sqrt{{{(0,7)}^{2}}}=0,7$ (bukan bentuk akar) |
| d) | $\sqrt{145}=12,0415....$ (bentuk akar) |
| e) | $\sqrt[3]{0,008}=\sqrt[3]{{{(0,2)}^{3}}}=0,2$ (bukan bentuk akar) |
B. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
a) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk setiap $a,b\in R$ dan $c\in {{R}^{+}}$, maka berlaku:
1) $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
2) $a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$
b) Perkalian Bentuk Akar
Untuk setiap $a,b,c,d\in R$ dan $c,d>0$ maka berlaku:
1) $\sqrt{c}\times \sqrt{d}=\sqrt{c\times d}$
2) $a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=a\times b\sqrt{c\times d}$
3) $\sqrt{c}(a+b\sqrt{d})=a\sqrt{c}+b\sqrt{cd}$
Untuk setiap $a,b\in R$ dan $c\in {{R}^{+}}$, maka berlaku:
1) $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
2) $a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$
b) Perkalian Bentuk Akar
Untuk setiap $a,b,c,d\in R$ dan $c,d>0$ maka berlaku:
1) $\sqrt{c}\times \sqrt{d}=\sqrt{c\times d}$
2) $a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=a\times b\sqrt{c\times d}$
3) $\sqrt{c}(a+b\sqrt{d})=a\sqrt{c}+b\sqrt{cd}$
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini!
a) $\sqrt{48}+\sqrt{75}+\sqrt{147}$
b) $\sqrt{8}-\sqrt{20}+3\sqrt{45}-5\sqrt{72}$
c) $\sqrt{3}\left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)$
d) $4\sqrt{2}\left( 3\sqrt{14}-\sqrt{18} \right)$
e) ${{\left( 3\sqrt{5}+6 \right)}^{2}}$
Penyelesaian:
$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &=a+b+2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}+\sqrt{b} &=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} \end{align}$
$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= a+b-2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}-\sqrt{b} &= \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} \end{align}$
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
a) $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$
b) $\sqrt{10-2\sqrt{24}}$
c) $\sqrt{16+\sqrt{220}}$
d) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$
e) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$
Penyelesaian:
Contoh 4.
Rasionalkanlah penyebut dari pecahan-pecahan berikut!
a) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$
b) $\frac{4}{3-\sqrt{5}}$
c) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4}$
Penyelesaian:
| a) | $\sqrt{48}+\sqrt{75}+\sqrt{147}$ = $\sqrt{16\times 3}+\sqrt{25\times 3}+\sqrt{49\times 3}$ = $\sqrt{16}\times \sqrt{3}+\sqrt{25}\times \sqrt{3}+\sqrt{49}\times \sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}+5\sqrt{3}+7\sqrt{3}$ = $(4+5+7)\sqrt{3}$ = $16\sqrt{3}$ |
| b) | $\sqrt{8}-\sqrt{20}+3\sqrt{45}-5\sqrt{72}$ = $\sqrt{4\times 2}-\sqrt{4\times 5}+3\sqrt{9\times 5}-5\sqrt{36\times 2}$ = $2\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3.3\sqrt{5}-5.6\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2}-30\sqrt{2}-2\sqrt{5}+9\sqrt{5}$ = $-28\sqrt{2}+7\sqrt{5}$ = $7\sqrt{5}-28\sqrt{2}$ |
| c) | $\sqrt{3}\left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)$ = $\sqrt{3\times 7}+\sqrt{3\times 3}$ = $\sqrt{21}+\sqrt{9}$ = $\sqrt{21}+3$ = $3+\sqrt{21}$ |
| d) | $4\sqrt{2}\left( 3\sqrt{14}-\sqrt{18} \right)$ = $4\times 3\sqrt{2\times 14}-4\sqrt{2\times 18}$ = $12\sqrt{24}-4\sqrt{36}$ = $12\sqrt{4\times 6}-4.6$ = $12.2\sqrt{6}-24$ = $24\sqrt{6}-24$ |
| e) | ${{\left( 3\sqrt{5}+6 \right)}^{2}}$ = $\left( 3\sqrt{5}+6 \right)\left( 3\sqrt{5}+6 \right)$ = $9\sqrt{25}+18\sqrt{5}+18\sqrt{5}+36$ = $45+36\sqrt{5}+36$ = $81+36\sqrt{5}$ |
C. Menyederhanakan Bentuk Akar
Perhatikan uraian berikut ini:$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &=a+b+2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}+\sqrt{b} &=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} \end{align}$
$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= a+b-2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}-\sqrt{b} &= \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} \end{align}$
Dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut: Untuk $a>0$, $b>0$ dan $a>b$ maka:
a) $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
b) $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Contoh 3.a) $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
b) $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
a) $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$
b) $\sqrt{10-2\sqrt{24}}$
c) $\sqrt{16+\sqrt{220}}$
d) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$
e) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$
Penyelesaian:
| a) | $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$ = $\sqrt{(4+3)+2\sqrt{4\times 3}}$ = $\sqrt{4}+\sqrt{3}$ = $2+\sqrt{3}$ |
| b) | $\sqrt{10-2\sqrt{24}}$ = $\sqrt{(6+4)-2\sqrt{6\times 4}}$ = $\sqrt{6}-\sqrt{4}$ = $\sqrt{6}-2$ |
| c) | $\sqrt{16+\sqrt{220}}$ = $\sqrt{16+2\sqrt{\frac{220}{4}}}$ = $\sqrt{16+2\sqrt{55}}$ = $\sqrt{(11+5)+2\sqrt{11\times 5}}$ = $\sqrt{11}+\sqrt{5}$ |
| d) | $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2.2\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2.\sqrt{4}.\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$ = $\sqrt{(5+4)-2\sqrt{5\times 4}}$ = $\sqrt{5}-\sqrt{4}$ = $\sqrt{5}-2$ |
| e) | $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ = $\sqrt{3-\frac{2}{2}\sqrt{5}}$ = $\sqrt{\frac{6}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{(5+1)-2\sqrt{5\times 1}}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$ |
D. Merasionalkan Penyebut
| a. | Pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ |
| $\begin{align}\frac{a}{\sqrt{b}} &= \frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \\ &= \frac{a\sqrt{b}}{b} \end{align}$ | |
| b. | Pecahan bentuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$ |
| $\begin{align}\frac{a}{b+\sqrt{c}} &=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}} \\ &= \frac{ab-a\sqrt{c}}{{{b}^{2}}-c} \end{align}$ | |
| c. | Pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ |
| $\begin{align}\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} &=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} \\ &= \frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{c}}{b-c} \end{align}$ |
Rasionalkanlah penyebut dari pecahan-pecahan berikut!
a) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$
b) $\frac{4}{3-\sqrt{5}}$
c) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4}$
Penyelesaian:
| a) | $\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{2\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$ |
| b) | $\begin{align}\frac{4}{3-\sqrt{5}} &= \frac{4}{3-\sqrt{5}}\times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \\ &= \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} \\ &= \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} \\ &= 3+\sqrt{5} \end{align}$ |
| c) | $\begin{align}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4}\times \frac{\sqrt{11}-4}{\sqrt{11}-4} \\ &= \frac{\sqrt{55}-4\sqrt{5}}{11-16} \\ &= \frac{\sqrt{55}-4\sqrt{5}}{-5} \\ &= \frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5} \end{align}$ |
E. Soal Latihan
- Bentuk sederhana dari $3\sqrt{48}+2\sqrt{27}-5\sqrt{125}$
- Bentuk sederhana dari $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ adalah $a+\sqrt{b}$. Tentukan nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
- Diketahui bilangan bulat $p$ dan $q$ memenuhi $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}=p+q\sqrt{8}$. Tentukan nilai $p-q$.
- Rasionalkanlah penyebut dari $\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
- Rasionalkanlah penyebut dari $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}-2}$.
Post a Comment