DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
- $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
- $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
- $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
- $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
Pada matematika definisi bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk khusus dari : $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ tidak perlu dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut "akar $a$".
Dari definisi bentuk akar di atas, diperoleh sifat-sifat bentuk akar. yaitu:
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
- $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ - $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
- $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
SOAL-SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN | KELAS IX SMP
1. Soal UNBK SMP Tahun 2019
Hasil dari $3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 15\sqrt{29} \\
(B)\ & 11\sqrt{29} \\
(C)\ & 15\sqrt{14} \\
(D)\ & 11\sqrt{14}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar, berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14} &= 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{14} \\
&= 6\sqrt{14} + 5\sqrt{14} \\
&= 11\sqrt{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11\sqrt{14}$
2. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |
Nilai dari $\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -27 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{27} \\
(C)\ & \dfrac{1}{27} \\
(D)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} &= \left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} \\
&= \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{1+\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{ \frac{3}{2} } \right)^{-2} \\
&= 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{27}$
3. Soal Simulasi UNBK SMP 2019
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12-5\sqrt{6} \\
(B)\ & 12 -\sqrt{6} \\
(C)\ & -5-\sqrt{6} \\
(D)\ & 6-5\sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$
4. Soal Simulasi UNBK SMP 2019
Hasil dari $(-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -52 \\
(B)\ & -51 \\
(C)\ & 84 \\
(D)\ & 85
\end{align}$
🔗Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0} \\
& =-64 + 16 + (-4) + 1 \\
& =-51
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -51$
5. Soal UNBK SMP 2018
Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4+\sqrt{15} \\
(B)\ & \frac{4-\sqrt{15}}{2} \\
(C)\ & 4+2\sqrt{15} \\
(D)\ & \frac{4+2\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \\
& = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{20}+\sqrt{12}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \\
& = \frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)}{\left(\sqrt{20}-\sqrt{12}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)} \\
& = \frac{\sqrt{100}+\sqrt{60}+\sqrt{60}+\sqrt{36}}{\sqrt{400}-\sqrt{240}+\sqrt{240}-\sqrt{144} } \\
& = \frac{10+2\sqrt{60}+6}{20-12} \\
& = \frac{16+2\sqrt{60}}{8} \\
& = \frac{16+2\sqrt{4 \cdot 15}}{8} \\
& = \frac{16+2 \cdot 2\sqrt{15}}{8} \\
& = \frac{16+4\sqrt{15}}{8} \\
& = \frac{4+\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah $(D)\ \frac{4+\sqrt{15}}{2}$
6. Soal UNBK SMP 2018
Hasil dari penjumlahan bilangan $(-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0}$ adalah....
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -5 \\
(D)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0} \\
& =-8 + 4 + (-2) + 1 \\
& =-5
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ -5$
7. Soal Simulasi UNBK SMP 2018
Hasil dari $\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}$ adalah....
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat pada soal diperoleh dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat yaitu $(a^{m})^{n}=a^{m \times n}$
$ \begin{align}
\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}} & =243^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}} \\ & =243^{\frac{1 \times 3}{3 \times 5}} \\ & =243^\frac{3}{15} \\ & =(3^{5})^\frac{3}{15} \\ & =3^{5 \times \frac{3}{15}} \\ & =3^{\frac{15}{15}} \\ & =3^{1}=3 \\ \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
8. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 >
Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6-2\sqrt{5} \\ (B)\ & 6+2\sqrt{5} \\ (C)\ & 12-2\sqrt{5} \\ (D)\ & 12+2\sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\frac{8}{3+\sqrt{5}}
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\ & =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\ & =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\ & =6-2\sqrt{5} \\ \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$
9. Soal UN SMP 2018
Hasil dari $2^{-1} + 3^{-1}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{6} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align} & 2^{-1} + 3^{-1} \\ & =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \\ & = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \\ & = \dfrac{2+3}{6} = \dfrac{5}{6} \end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ \dfrac{5}{6}$
10. Soal UN SMP 2018
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{12} \\
(B)\ & 5\sqrt{4} \\
(C)\ & 6\sqrt{10} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2\sqrt{9 \times 6}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{4 \times 2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{4 \times 2 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{8 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{10\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
& = 2\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
11. Soal UN SMP 2017
Hasil dari $81^{\frac{3}{4}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 27 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 54 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align} & 81^{\frac{3}{4}} \\ & = \left( 3^{4} \right)^{\frac{3}{4}} \\ & = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} \\ & = 3^{3} = 27 \end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ 27$
12. Soal UN SMP 2017
Hasil dari $ 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{3} \\
(B)\ & 4\sqrt{3} \\
(C)\ & 5\sqrt{2} \\
(D)\ & 6\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} \\ & = 2\sqrt{9 \times 3} \times \sqrt{16 \times 2} : \sqrt{16 \times 3}\\
& = 2 \times 3 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\ & = 6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\ & = \dfrac{6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \\
& = 6\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{2}$
13. Soal UN SMP 2017
Bentuk sederhana dari $ \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6+2\sqrt{5} \\
(B)\ & 6+\sqrt{10} \\
(C)\ & 6-\sqrt{10} \\
(D)\ & 6-2\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{\left(3-\sqrt{5} \right)\left(3+\sqrt{5} \right)} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{9-5} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{4} \\ & = 2 \times \left(3-\sqrt{5} \\
& = 6-2\sqrt{5} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6-2\sqrt{5}$
14. Soal UN SMP 2016
Hasil dari $\left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} \\ & = 27^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} \\ & = 27^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 3^{3} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}}=3 \end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ 3$
15. Soal UN SMP 2016
Hasil dari $ \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6\sqrt{10} \\
(B)\ & 8\sqrt{10} \\
(C)\ & 10\sqrt{10} \\
(D)\ & 2\sqrt{10} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} \\ & = \sqrt{100 \times 10}-2\sqrt{4 \times 10} \\
& = 10 \sqrt{10}-2 \times 2\sqrt{10} \\
& = 10 \sqrt{10}- 4\sqrt{10} \\
& = 6\sqrt{10} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{10}$
16. Soal UN SMP 2016
Bilangan yang senilai dengan $ \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{6+2\sqrt{2}}{7} \\
(B)\ & \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} \\
(C)\ & \dfrac{5+ \sqrt{2}}{13} \\
(D)\ & \dfrac{5- \sqrt{2}}{13} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{\left(3-\sqrt{2} \right)\left(3+\sqrt{2} \right)} \\ & = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{9-2} \\ & = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$
17. Soal UN SMP 2015
Hasil dari $ 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 72 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 24 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align} & 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}} \\ & = \left( 3^{4} \right)^{\frac{1}{4}} \times \left( 2^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \\ & = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} \times 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} \\ & = 3 \times 2^{3} \\ & = 3 \times 8 = 24 \end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ 24$
18. Soal UN SMP 2015
Hasil dari $ 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 6\sqrt{2} \\
(C)\ & 8\sqrt{2} \\
(D)\ & 9\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} \\ & = 3\sqrt{2}+5 \sqrt{4 \times 2}- \sqrt{16 \times 2} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\ & = 9\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\sqrt{2}$
19. Soal UN SMP 2014
Bilangan $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} $ dirasionalkan penyebutnya menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6}\sqrt{12} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(D)\ & 2\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{2 \times \sqrt{6} \right)}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right)} \\ & = \dfrac{2 \sqrt{6}}{6} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$
20. Soal UN SMP 2014
Hasil dari $ \sqrt{24} : \sqrt{3} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{24} : \sqrt{3} \\ & = \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{8} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{8}= \sqrt{4 \times 2} \\ & = 2\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{2}$
Post a Comment