RELASI DUA HIMPUNAN
Misal himpunan $A=\left\{ 1,2,4 \right\}$ dan himpunan $B=\left\{ (1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4) \right\}$ mempunyai relasi bahwa himpunan $A$ merupakan faktor dari himpunan $B$. Relasi himpunan $A$ dan himpunan $B$ dapat dinyatakan dalam tiga cara yaitu:
- Diagram panah
- Koordinat Kartesius
- Himpunan pasangan terurut
- $\left\{ (1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4) \right\}$
FUNGSI (PEMETAAN)
Jika himpunan $A$ adalah Domain (daerah asal) dan himpunan $B$ adalah kodomain (daerah kawan) maka relasi himpunan $A$ ke himpunan $B$ merupakan fungsi saat anggota domain mempunyai pasangan tepat satu pada kodomain.
Pada diagram panah di atas kita peroleh Range (daerah hasil) yaitu $\left\{ y,z \right\}$
Jika himpunan $A$ banyak anggota adalah $n(A)$ dan himpunan $B$ banyak anggota adalah $n(B)$, maka banyaknya fungsi (pemetaan) yang dapat terjadi dapat kita hitung dengan rumus:
\begin{align}
n \left(A \longrightarrow B \right)\ & = n(B)^{n(A)} \\ n \left(B \longrightarrow A \right)\ & = n(A)^{n(B)} \end{align}
NOTASI FUNGSI dan NILAI FUNGSI
Untuk nilai fungsi dari suatu domain, hasil yang diperoleh disebut juga daerah hasil (range).
Misalnya diketahui fungsi $f(x)=2x+3$, maka nilai fungsi untuk $x=1$ dinyatakan dalam bentuk:
$\begin{align}
f(x) & = 2x+3 \\
f(1) & = 2(1)+3 \\
& = 2+3 \\
& = 5 \end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN - Relasi dan Fungsi
1. Soal UNBK Matematika SMP 2019
Perhatikan diagram panah berikut!
Rumus fungsi dari $A$ ke $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f(x)=-3x-2 \\
(B)\ & f(x)=x+2 \\
(C)\ & f(x)=2x+3 \\
(D)\ & f(x)=3x+4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pilihan pada fungsi adalah fungsi linear, sehingga fungsi dapat kita misalkan dengan $f(x)=ax+b$
$\begin{align}
f(-1) &: -a+b=1 \\
f(0) &: b=3 \\
f( 1) &: a+b=5 \\
\hline
a & = 2 \\
f(x) &= 2x+3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x)=2x+3$
2. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2019
Diagram panah di samping menunjukkan fungsi dari $x$ ke $f(x)$. Tumus fungsinya adalah...
Rumus fungsi dari $A$ ke $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f(x)=x+10 \\
(B)\ & f(x)=2x+4 \\
(C)\ & f(x)=4x-2 \\
(D)\ & f(x)=6x-5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar diagram panah,
Untuk $x=3$ diperoleh $f(3)=13$
Untuk $x=5$ diperoleh $f(5)=25$
Untuk $x=6$ diperoleh $f(6)=31$
Kita misalkan $f(x)=mx+n$ sehingga kita peroleh:
$f(3)=3m+n\ \Rightarrow 3m+n=13$
$f(5)=5m+n\ \Rightarrow 5m+n=25$
$f(6)=6m+n\ \Rightarrow 6m+n=31$
Dengan mengeliminasi atau substitusi;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+n = 13 & \\
5m+n = 25 & - \\
\hline
-2m = -12 \\
m = 6 \\
n = -5 \\
f(x)=6x-5
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ f(x)=6x-5$
3. Soal UNBK Matematika SMP 2018
Perhatikan diagram panah berikut!
Rumus fungsi dari $A$ ke $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f(x)=2x+3 \\
(B)\ & f(x)=5x-12 \\
(C)\ & f(x)=3x-2 \\
(D)\ & f(x)=2x-3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar diagram panah,
Nilai $a_{1}=5$ menjadi $b_{1}=13$
Nilai $a_{2}=6$ menjadi $b_{2}=15$
Nilai $a_{3}=8$ menjadi $b_{3}=19$
Perubahan nilai dari $A$ ke $B$ yang paling cocok adalah $f(x)=2x+3$.
$f(5)=2(5)+3=13$
$f(6)=2(6)+3=15$
$f(8)=2(8)+3=19$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ f(x)=2x+3$
4. Soal UNBK Matematika SMP 2018
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 5x – 2$. Jika $f(m) = 18$ dan $f(n) = 23$. Nilai $m + n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f(m) = 18$ dan $f(n) = 23$ ke $f(x) = 5x – 2$, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=5x-2 \\
f(m)\ &=5m-2 \\
18\ &=5m-2 \\ 18+2\ &=5m \\ 20\ &=5m \longrightarrow m=\dfrac{20}{5}=4 \\ \hline f(n)\ &=5(n)-2 \\
23\ &=5n-2 \\ 23+2\ &=5n \\ 25\ &=5n \longrightarrow n=\dfrac{25}{5}=5 \\ \end{align}$
Nilai $m + n=4+5=9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$
5. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2018
Diketahui fungsi $f(x)=-2x+3$. Nilai dari $f(a+5)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2a+13 \\ (B)\ & 2a-7 \\ (C)\ & -2a-13 \\ (D)\ & -2a-7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $f(x)=-2x+3$ adalah sebuah fungsi dengan variabel $(\text{peubah})\ x$, fungsi bisa kita rubah sesuai dengan variabel yang kita inginkan, misal:
$\begin{align} f(x) &= -2x+3 \\ f(m) &= -2m+3 \\ f(k) &= -2k+3 \\ f(abc) &= -2abc+3 \\ f(💗) &= -2💗+3 \end{align}$
dan sebagainya.
Dengan memahami perubahan variabel fungsi diatas, mainear ka kita sudah bisa merubah variabel $x$ menjadi $a+5$.
$\begin{align} f(x) &= -2x+3 \\ f(a+5) &=-2(a+5)+3 \\ &=-2a-10+3 \\ &=-2a-7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2a-7$
6. Soal Fungsi
Daerah hasil untuk $f(x)=2x+1$ $x \in \text{Bilangan Cacah}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Bilangan bulat} \\ (B)\ & \text{Bilangan ganjil} \\ (C)\ & \text{Bilangan asli} \\ (D)\ & \text{Bilangan real} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $x \in \text{Bilangan Cacah}$ maka nilai $f(x)=2x+1$ dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
f(0) & =2(0)+1=1\\ f(1) & =2(1)+1=3\\ f(2) & =2(2)+1=5\\ f(3) & =2(3)+1=7 \vdots
\end{align}$
Semua pilihan jawaban pada soal benar, tetapi karena diharuskan memilih maka pilihan kita ada pada $(B)\ \text{Bilangan ganjil}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Bilangan ganjil}$
7. Soal Relasi
Perhatikan diagram berikut!
Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{lebih dari} \\ (B)\ & \text{kurang dari} \\ (C)\ & \text{setengah dari} \\ (D)\ & \text{faktor dari} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- Anggota $(A)$ yaitu $1$ berelasi ke $(B)$ pada $2,\ 3,\ 4$
- Anggota $(A)$ yaitu $2$ berelasi ke $(B)$ pada $2,\ 4$
- Anggota $(A)$ yaitu $4$ berelasi ke $(B)$ pada $4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{faktor dari}$
8. Soal Fungsi
Diagram panah dibawah ini yang merupakan pemetaan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pemetaan atau fungsi adalah relasi himpunan dimana semua anggota daerah asal (domain) mempunyai pasangan tepat satu pada daerah kawan (kodomain).
Gambar diagram panah yang memenuhi syarat pemetaan atau fungsi adalah diagram panah pilihan $(D)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$
9. Soal Fungsi
Jika $f(x-1)=2x+3$ maka $f(2)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 11
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x-1)=2x+3$, yang ditanyakan adalah $f(2)$ maka kita substitusi $x=3$ agar pada $f(x-1)$ kita peroleh $f(2)$.
$\begin{align}
f(x-1) & = 2x+3 \\ f(3-1) & = 2(3)+3 \\ f(2) & = 6+3 \\ f(2) & = 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
10. Soal UN Matematika SMP 2018
Perhatikan diagram panah berikut!
Rumus fungsi dari $P$ ke $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f(x)=4 \left( 2x+5 \right) \\
(B)\ & f(x)=3 \left( 2x+3 \right) \\
(C)\ & f(x)=2 \left( 3x+9 \right) \\
(D)\ & f(x)=\dfrac{1}{2} \left( 6x+18 \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pilihan pada fungsi adalah fungsi linear, sehingga fungsi dapat kita misalkan dengan $f(x)=ax+b$
$\begin{align}
f(2)=21 & \longrightarrow 2a+b=21\ \text{(pers.1)} \\ f(6)=45 & \longrightarrow 6a+b=45\ \text{(pers.2)} \\ f(10)=69 & \longrightarrow 10a+b=69\ \text{(pers.3)} \end{align}$
Dari persamaan $\text{pers.1}$ dan $\text{pers.2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
2a+b &=21 \\ 6a+b &=45\ \ (-) \\ \hline 4a &=24\ \longrightarrow a=\dfrac{24}{4}=6 \\ 2a+b &=21 \\ 2(6)+b &=21 \\ 12+b &=21\ \longrightarrow b=9 \\ \end{align}$
Untuk $a=6$ dan $b=9$ maka $f(x)=6x+9=3 \left( 2x+3 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f(x)=3 \left( 2x+3 \right)$
11. Soal UN Matematika SMP 2018
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 2x – 3$. Jika $f(m) = 5$ dan $f(-2) = n$. Nilai $m + n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f(m) = 5$ dan $f(-2) = n$ ke $f(x) = 2x – 3$, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=2x-3 \\
f(m)\ &=2m-3 \\
5\ &=2m-3 \\ 5+3\ &=2m \\ 8\ &=2m \longrightarrow m=\dfrac{8}{2}=4 \\ \hline f(-2)\ &=2(-2)-3 \\
n\ &=-4-3 \\ n\ &=-7 \end{align}$
Nilai $m + n=4-7=-3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$
12. Soal UN Matematika SMP 2018
Perhatikan gambar di samping!
Relasi yang tepat dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{kuadrat dari} \\ (B)\ & \text{kurang dari} \\ (C)\ & \text{faktor dari} \\ (D)\ & \text{lebih dari} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- Anggota $(A)$ yaitu $2$ berelasi ke $(B)$ pada $2,\ 4,\ 6,\ 8$
- Anggota $(A)$ yaitu $3$ berelasi ke $(B)$ pada $6$
- Anggota $(A)$ yaitu $4$ berelasi ke $(B)$ pada $4,\ 8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{faktor dari}$
13. Soal UN Matematika SMP 2017
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 2x – 5$. Jika $f(k) = -15$ maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f(k) = -15$ ke $f(x) = 2x – 5$, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=2x-5 \\
f(k)\ &=2k-5 \\
-15\ &=2k-5 \\ -15+5\ &=2k \\ -10\ &=2k \longrightarrow k=\dfrac{-10}{2}=-5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$
14. Soal UN Matematika SMP 2016
Diketahui $A= \{ a,b,c \}$ dan $B= \{ 1,2,3,4,5 \}$. Banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 32 \\ (C)\ & 125 \\ (D)\ & 243 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika himpunan $A$ banyak anggota adalah $n(A)$ dan himpunan $B$ banyak anggota adalah $n(B)$, maka banyaknya fungsi (pemetaan) yang dapat terjadi dapat kita hitung dengan rumus:
\begin{align}
n \left(A \longrightarrow B \right)\ & = n(B)^{n(A)} \end{align}
Untuk $A= \{ a,b,c \}$ maka $n(A)=3$ dan $B= \{ 1,2,3,4,5 \}$, $n(B)=5$ maka banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah $n(B)^{n(A)}=5^{3}=125$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 125$
15. Soal UN Matematika SMP 2016
Fungsi $f$ dinyatakan dengan $f(x) = 3x+5 $. Hasil dari $f \left(2b-3 \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5b+8 \\
(B)\ & 5b+2 \\
(C)\ & 6b-4 \\
(D)\ & 6b-15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f \left(2b-3 \right)$ ke $f(x) = 3x+5 $, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=3x+5 \\
f(2b-3)\ &=3(2b-3)+5 \\
&=6b-9+5 \\ &=6b-4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6b-4$
16. Soal UN Matematika SMP 2015
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 3x+2 $. Nilai dari $f \left( 4y-7 \right)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12y-23 \\
(B)\ & 12y-19 \\
(C)\ & 12y-11 \\
(D)\ & 12y-5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f \left( 4y-7 \right)$ ke $f(x) = 3x+2 $, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=3x+2 \\
f(4y-7)\ &=3( 4y-7)+2 \\
&=12y-21+2 \\ &=12y-19 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12y-19$
17. Soal UN Matematika SMP 2015
Perhatikan himpunan pasangan berikut:Himpunan pasangan yang merupakan pemetaan adalah...
- $\{ (1,a),(2,b),(3,b) \}$
- $\{ (1,a),(1,b),(3,c) \}$
- $\{ (2,4),(4,8),(6,12) \}$
- $\{ (2,4),(2,8),(6,12) \}$
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{dan}\ 2 \\ (B)\ & 1\ \text{dan}\ 3 \\ (C)\ & 2\ \text{dan}\ 3 \\ (D)\ & 1\ \text{dan}\ 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi (pemetaan) dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah hubungan yang memasangkan tepat satu anggota himpunan $A$ dengan anggota himpunan $B$.
Dari himpunan pasangan di atas yang merupakan pemetaan adalah $1\ \text{dan}\ 3$.
- $\{ (1,a),(2,b),(3,b) \}$ adalah Fungsi (pemetaan)
- $\{ (1,a),(1,b),(3,c) \}$ tidak Fungsi (pemetaan) karena $1$ mempunyai dua pasangan di kodomain yaitu $a$ dan $b$
- $\{ (2,4),(4,8),(6,12) \}$ adalah Fungsi (pemetaan)
- $\{ (2,4),(2,8),(6,12) \}$ tidak Fungsi (pemetaan) karena $2$ mempunyai dua pasangan di kodomain yaitu $4$ dan $8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{dan}\ 3$
18. Soal UN Matematika SMP 2018
Suatu perusahaan taksi memasang tarif seperti grafik berikut:Alia pergi kerumah nenek yang berjarak $22$ kilometer dengan menggunakan taksi tersebut. Berapa tarif taksi harus dibayar Alia?
$\begin{align} (A)\ & Rp66.000,00 \\ (B)\ & Rp73.000,00 \\ (C)\ & Rp132.000,00 \\ (D)\ & Rp143.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar grafik tarif berupa garis lurus dapat kita peroleh sebagai berikut:
| Tarif Taksi | ||
|---|---|---|
| Jarak | Harga | Pola |
| $2$ | $13$ | $3(2)+7$ |
| $4$ | $19$ | $3(4)+7$ |
| $6$ | $25$ | $3(6)+7$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $22$ | $\cdots$ | $3(22)+7=73$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp73.000,00$
19. Soal UN Matematika SMP 2018
Fungsi $f(x) = 3x+9$. Jika $f(k) = 33$ maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 22 \\
(B)\ & 14 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f(k) = 33$ ke $f(x) = 3x+9$, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=3x+9 \\
f(k)\ &=3k+9 \\
33\ &=3k+9 \\ 33-9\ &=3k \\ 24\ &=3k \longrightarrow k=\dfrac{24}{3}=8 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
20. Soal UN Matematika SMP 2012
Diketahui rumus fungsi $f(x) = -2x+5$. Nilai $f(-4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -13 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita substitusi nilai $f(-4)$ ke $f(x) = -2x+5$, kita akan peroleh;
$\begin{align}
f(x) &=-2x+5 \\
f(-4)\ &=-2(-4)+5\\
&=-8+5 \\ &=-3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3$
Post a Comment